Question

已知函数f（x）=xlnx，当x₂＞x₁＞0时，给出下列几个结论：
①（x₁-x₂）•[f（x₁）-f（x₂）]＜0；
②f（x₁）+x₂＜f（x₂）+x₁；
③x₂•f（x₁）＜x₁•f（x₂）；
④当lnx₁＞-1时，x₁•f（x₁）+x₂•f（x₂）＞2x₂f（x₁）．
其中正确的是

 

（将所有你认为正确的序号填在横线上）．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：求导数可得（0，

1

e

）上函数单调递减，（

1

e

，+∞）上函数单调递增，从而可知①②不正确；令g（x）=

f(x)

x

=lnx，则g′（x）=

1

x

，（0，+∞）上函数单调递增，可判断③；lnx₁＞-1时，f（x）单调递增，结合x₂•f（x₁）＜x₁•f（x₂），利用不等式的传递性可以得到结论．

解答： 解：∵f（x）=xlnx，∴f′（x）=lnx+1，∴（0，

1

e

）上函数单调递减，（

1

e

，+∞）上函数单调递增，
从而可知①②不正确；
令g（x）=

f(x)

x

=lnx，则g′（x）=

1

x

，（0，+∞）上函数单调递增，
∵x₂＞x₁＞0，∴g（x₂）＞g（x₁），∴x₂•f（x₁）＜x₁•f（x₂），即③正确；
lnx₁＞-1时，f（x）单调递增，
∴x₁•f（x₁）+x₂•f（x₂）-2x₂f（x₁）=x₁[f（x₁）-f（x₂）]+x₂[f（x₂）-f（x₁）]=（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0
∴x₁•f（x₁）+x₂•f（x₂）＞x₁•f（x₂）+x₂f（x₁），
∵x₂•f（x₁）＜x₁•f（x₂），利用不等式的传递性可以得到x₁•f（x₁）+x₂•f（x₂）＞2x₂f（x₁），故④正确．
故答案为：③④．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力．