题目内容
已知函数f（x）=x3+x|x|，若f（x2+2）+f（3x）＜0，则实数x的取值范围是 ．
考点：奇偶性与单调性的综合
专题：综合题,转化思想,函数的性质及应用
分析：由题，可先用单调性的判断规则判断出单调性，利用奇偶性定义得出函数的奇偶性，由此将不等式f（x2+2）+f（3x）＜0转化为x2+2＜-3x，解不等式即可得出所求．
解答：
解：由于函数y=x3与y=x|x|都是增函数，可得f（x）=x3+x|x|是增函数．
又f（-x）=-x3-x|x|=-（x3+x|x|）=-f（x），
所以f（x）是奇函数．
故f（x2+2）+f（3x）＜0可变为f（x2+2）＜f（-3x），
由单调性可得x2+2＜-3x，解得-2＜x＜-1
故答案为：（-2，-1）．
又f（-x）=-x3-x|x|=-（x3+x|x|）=-f（x），
所以f（x）是奇函数．
故f（x2+2）+f（3x）＜0可变为f（x2+2）＜f（-3x），
由单调性可得x2+2＜-3x，解得-2＜x＜-1
故答案为：（-2，-1）．
点评：本题考查单调必与奇偶性的判断及利用单调性解抽象不等式，奇偶性与单调性的结合是考试中的热点问题，注意总结此类题的答题规律．
练习册系列答案
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下列命题中真命题是（ ）
| A、“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件 |
| B、“a＞b”是“a2＞b2”的必要条件 |
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| D、“a＞b”是“|a|＞|b|”的充分条件 |