Question

已知直线l₁：（3+a）x-4y=5-3a；l₂：2x-（5+a）y=8
（1）a为何值时，l₁⊥l₂？
（2）当a=0时，求圆C：x²+y²+4x-12y+39=0关于直线l₁对称的圆的方程．

Answer 1

考点：关于点、直线对称的圆的方程,直线的一般式方程与直线的垂直关系

专题：直线与圆

分析：（1）由条件根据两条直线垂直的条件可得（3+a）•2+（-4）•[-（5+a）]=0，由此求得a的值．
（2）利用了垂直、中点在轴上这两个条件，求出圆心C关于直线l₁对称的圆的圆心坐标，可得要求的圆的标准方程．

解答： 解：（1）要使l₁⊥l₂ ，需（3+a）•2+（-4）•[-（5+a）]=0，
求得a=-

13

3

．
（2）当a=0时，直线l₁：3x-4y-5=0，圆C：x²+y²+4x-12y+39=0 即（x+2）²+（y-6）²=1，
设圆心C（-2，6）关于直线直线l₁：3x-4y-5=0的对称点为D（a，b），
则由

b-6 a+2 • 3 4 =-1 3• a-2 2 -4• b+6 2 -5=0

，求得

a= 32 5 b=- 26 5

，
故圆C关于直线l₁对称的圆的方程为 (x-

32

5

)2+(y+

26

5

)2=1．

点评：本题主要考查两条直线垂直的条件，求一个点关于直线的对称点的方法，利用了垂直、中点在轴上这两个条件，求圆的标准方程的方法，求出圆心坐标和半径的值，是解题的关键，属于基础题．