Question

设函数f（x）满足f（2^x）=x²-2ax+a²-1，且f（x）在[2^a-1，2 a2-2a+2]上的值域为[-1，0]，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由题意，利用换元法将f（x）在区间[2a-1，2a2-2a+2]上的值域为[-1，0]等价于g（x）=x²-2ax+a²-1在区间[a-1，a²-2a+2]上的值域为[-1，0]；从而求解．

解答： 解：记g（x）=f（2^x），
则f(x)=g(log2x)=(log2x)2-2alog2x+a2-1，
∴f（x）在区间[2a-1，2a2-2a+2]上的值域为[-1，0]等价于g（x）=x²-2ax+a²-1在区间[a-1，a²-2a+2]上的值域为[-1，0]．
∵g（a）=-1∈[-1，0]，
∴a∈[a-1，a²-2a+2]，
且g（x）在区间[a-1，a²-2a+2]上的最大值应在区间端点处达到．
又g（a-1）=0恰为g（x）在该区间上的最大值，故a必在区间右半部分，
即：

(a-1)+(a2-2a+2)

2

≤a≤a2-2a+2，
解得：

3- 5

2

≤a≤1或2≤a≤

3+ 5

2

．

点评：本题考查了函数的值域的求法与应用，属于基础题．