Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N₊），b_n=a_n（a_n+1）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前n项和S_n；
（3）设T_n=

2n

Sn

，证明：T₁+T₂+T₃+…+T_n＜n（n≥2）

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）首先利用数列的递推关系求出数列的通项公式．
（2）根据（1）的结论进一步求出通项公式，在求数列的和．
（3）根据（2）的结论，再对关系式进行变换，最后求得结果．

解答： 解：（1）a_n+1=-2a_n+1
所以：a_n+1+1=2（a_n+1）
即：

an+1+1

an+1

=2
由于：a₁+1=2
所以：数列{a_n+1}是以2为首项，公比为2的等比数列．
an+1=2•2n-1
an=2n-1           
（2）b_n=a_n•（a_n+1）
由（1）知：bn=4n-2n
Sn=

4(1-4n)

1-4

-

2(1-2n)

1-2

=

4n+1

3

-2n+1+

2

3

（3）由（2）知：Tn=

2n

Sn

=

3

2n+2+ 1 2n-1 -6

设cn=2n+2+

2

2n

所以：cn+1-cn=2n+2-2-n
c_n+1＞c_n
T_n+1＜T_n

3

2n+2+ 1 2n-1 -6

≤1（当且仅当n=1时等号成立）
所以：T₁+T₂+…+T_n＜n（n≥2）

点评：本题考查的知识要点：用递推关系式求数列的通项公式及数列的和．数列的通项的应用，属于基础题型．