题目内容
已知函数f（x）=-x2+2ax+1-a在区间[0，1]的最大值为2，则a的值为 ．
考点：二次函数在闭区间上的最值
专题：计算题,函数的性质及应用
分析：这是一个动函数、定区间的二次函数的最值问题，由于二次项系数为-1，所以函数f（x）=-x2+2ax+1-a的图象的开口方向是向下的，对称轴为x=a，因此需要按对称轴与区间的关系进行分类讨论．
解答：
解：函数f（x）=-x2+2ax+1-a的对称轴为x=a，图象开口向下，
①当a≤0时，函数f（x）=-x2+2ax+1-a在区间[0，1]是减函数，
∴fmax（x）=f（0）=1-a，由1-a=2，得a=-1，
②当0＜a≤1时，函数f（x）=-x2+2ax+1-a在区间[0，a]是增函数，在[a，1]上是减函数，
∴fmax(x)=f(a)=-a2+2a2+1-a=a2-a+1，
由a2-a+1=2，解得a=
或a=
，
∵0＜a≤1，∴两个值都不满足；
③当a＞1时，函数f（x）=-x2+2ax+1-a在区间[0，1]是增函数，
∴fmax（x）=f（1）=-1+2a+1-a=a，
∴a=2
综上可知，a=-1或a=2．
故答案为：a=-1或a=2．
①当a≤0时，函数f（x）=-x2+2ax+1-a在区间[0，1]是减函数，
∴fmax（x）=f（0）=1-a，由1-a=2，得a=-1，
②当0＜a≤1时，函数f（x）=-x2+2ax+1-a在区间[0，a]是增函数，在[a，1]上是减函数，
∴fmax(x)=f(a)=-a2+2a2+1-a=a2-a+1，
由a2-a+1=2，解得a=
1+
| ||
| 2 |
1-
| ||
| 2 |
∵0＜a≤1，∴两个值都不满足；
③当a＞1时，函数f（x）=-x2+2ax+1-a在区间[0，1]是增函数，
∴fmax（x）=f（1）=-1+2a+1-a=a，
∴a=2
综上可知，a=-1或a=2．
故答案为：a=-1或a=2．
点评：本题考查二次函数在闭区间上的最值问题，考查了数形结合、分类讨论的数学思想．
练习册系列答案
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设全集U是实数集R，M={x|x2≥4}，N={x|ln（x+2）≥0}，则（∁UM）∩N=（ ）
| A、{x|-1≤x＜2} |
| B、{x|x＜2} |
| C、{x|-1＜x＜2} |
| D、{x|x≤2} |