Question

10．已知直线l的方程为2x+my-4m-4=0，m∈R，点P的坐标为（-1，0）．
（1）求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；
（2）设点Q为直线l上的动点，且PQ⊥l，求|PQ|的最大值；
（3）设点P在直线l上的射影为点A，点B的坐标为（$\frac{9}{2}$，5），求线段AB长的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令参数m的系数等于零，求得x、y的值，可得直线l恒过定点的坐标．
（2）根据|PQ|≤|PS|，求得|PQ|的最大值．
（3）根据PA⊥AS，以及圆的性质可得点A的轨迹是以PS为直径的圆，由根据|BM|-r≤|AB|≤|BM|+r，求得线段AB长的取值范围．

解答 解：（1）证明：∵直线l的方程为2x+my-4m-4=0，m∈R，即2（x-2）+m（y-4）=0，
令y-4=0，求得x=2，y=4，可得直线l恒过定点的坐标为S（2，4）．
（2）∵点P的坐标为（-1，0），|PQ|≤|PS|=$\sqrt{{（-1-2）}^{2}{+（0-4）}^{2}}$=5，故|PQ|的最大值为5，
此时，PS⊥l，它们的斜率之积$\frac{4}{3}•\frac{-2}{m}$=-1，求得m=$\frac{8}{3}$．
（3）直线l恒过定点S（2，4），点B的坐标为（$\frac{9}{2}$，5），PA⊥AS，
故点A的轨迹是以PS为直径的圆，圆心M（$\frac{1}{2}$，2）、半径为$\frac{|PS|}{2}$=$\frac{5}{2}$，
∴|BM|-$\frac{5}{2}$≤|AB|≤|BM|+$\frac{5}{2}$，即 $\frac{5}{2}$≤|AB|≤$\frac{15}{2}$．

点评 本题主要考查经过定点的直线，两条直线垂直的性质，圆的性质应用，属于中档题．