Question

1．已知两点F₁（-6，0）、F₂（6，0），点P为椭圆上任意一点，|PF₁|+|PF₂|=20
（1）求以F₁、F₂为焦点且过点P的椭圆的标准方程；
（2）求出椭圆的长轴的长，短轴长，顶点的坐标，离心率．

Answer 1

分析 （1）由题意可知，椭圆是焦点在x轴上的椭圆，且求得a，c的值，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）由（1）可得a，b，c的值，则椭圆的长轴的长，短轴长，顶点的坐标，离心率可求．

解答 解：（1）由题意可设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$，
且c=6，2a=20，则a=10，b²=a²-c²=64．
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{100}+\frac{{y}^{2}}{64}=1$；
（2）由椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{100}+\frac{{y}^{2}}{64}=1$，
可得a=10，b=8，c=6，
∴椭圆的长轴的长为20；短轴长为16；顶点的坐标为（-10，0），（10，0），（0，-8），（0，8）；离心率e=$\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆方程的求法，是基础题．