Question

已知函数f（x）=elnx，g（x）=

1

e

f（x）-（x+1）（e为自然对数）．
（1）求函数g（x）的最大值；
（2）求证：e 1+

1

2

+

1

3

+…

1

n

＞n+1（n∈N^*）

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,不等式的证明

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）求g′（x）=

1-x

x

，容易求出g（x）在（0，+∞）上的极大值，也是最大值为g（1）=-2；
（2）要证明原不等式成立，只需先证明1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞ln(n+1)．而由（1）知lnx-（x+1）≤-2，所以x-1≥lnx，当且仅当x=1时取“=”，令x-1=t，x=t+1，所以t≥ln（t+1），取t=

1

n

，便得到

1

n

＞ln(

1

n

+1)=ln(

n+1

n

)，这样让n从1取到n，把得到的不等式的左右两边同时相加便可得：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞ln(n+1)，对不等式两边同时取以e为底的指数便得到原不等式．

解答： 解：（1）g（x）=lnx-（x+1），g′（x）=

1

x

-1=

1-x

x

；
∴x∈（0，1）时，g′（x）＞0；x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0；
∴x=1时，g（x）取得极大值，也是最大值-2；
（2）由（1）知，对任意的x∈（0，+∞），lnx-（x+1）≤-2，即：
lnx≤x-1，当且仅当x=1时取“=”，令x-1=t，x=t+1，则：
ln（t+1）≤t，即t≥ln（t+1），取t=

1

n

，n∈N^*，则：

1

n

＞ln(

1

n

+1)=ln(

n+1

n

)；
∴1＞ln2；

1

2

＞ln

3

2

；

1

3

＞ln

4

3

；
…

1

n

＞ln(

n+1

n

)
∴1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞ln(2•

3

2

•

4

3

…

n+1

n

)=ln（n+1）；
∴e1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞n+1．

点评：考查极值的概念，根据极值求函数的最值，对数的运算，以及指数函数、对数函数的单调性．