Question

在抛物线y²=16x内有一点G（4，4）抛物线的焦点为F，若以F，G为焦点作一个与抛物线相交且长轴最短的椭圆，则此椭圆的离心率为

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：如图所示，由抛物线的定义可得，P′G+P′F=P′G+P′Q′≥GQ′＞GQ，而PF+PG=PG+PQ=GQ，故点P就是满足条件的椭圆上的点，根据此椭圆的长轴2a=GQ，半焦距c=

FG

2

，可得椭圆的离心率e=

c

a

的值．

解答： 解：由题意可得，焦点F（4，0），如图所示：过点G（4，4）作一条平行于x轴的直线，交抛物线于点P，交抛物线的准线于点Q．
在抛物线上，除了点P外，再任意取一点P′，过点P′作一条平行于x轴的直线，交抛物线的准线于点Q′，
则由抛物线的定义可得，P′G+P′F=P′G+P′Q′≥GQ′＞GQ，而PF+PG=PG+PQ=GQ，故点P就是满足条件的椭圆上的点，
此椭圆的长轴2a=GQ=4+4=8，a=4，椭圆的半焦距c=

FG

2

=2，故椭圆的离心率e=

c

a

=

1

2

，
故答案为：

1

2

．

点评：本题主要考查抛物线、椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于基础题．