Question

如图，在长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，E为AB的中点，F为CC₁的中点.

（1）证明：B F//平面E CD₁
（2）求二面角D₁—EC—D的余弦值.

Answer 1

（1）证明：取CD₁中点G，连结FG得出且FG //BE；
由四边形FG EB为平行四边形得到BF //GE，证得B F//平面E CD₁；
（2）cos∠DED₁.

试题分析：（1）证明：取CD₁中点G，连结FG
∵F为CC₁的中点.D₁  ∴且FG //C₁D₁
∵且AB //C₁D₁∴且FG //BE
∴四边形FG EB为平行四边形∴BF //GE   4分
∵平面E CD₁    平面E CD₁
∴B F//平面E CD₁   7分
（2）连结DE
∵AD=AA₁=1，AB="2" ,  E为AB的中点
∴   9分
∵平面ABCD   ∴E C
又  平面E DD₁    平面E DD₁
∴平面E DD₁
∴ E D₁   11分
∴∠DED₁为二面角D₁—EC—D的平面角.    12分
中  ∴中
∴cos∠DED₁   14分
点评：中档题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤。解题过程中，注意转化成平面几何问题，是解决立体几何问题的一个基本思路。