Question

如图，正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E为AB中点，F为正方形BCC₁B₁的中心.

（1）求直线EF与平面ABCD所成角的正切值；
（2）求异面直线A₁C与EF所成角的余弦值．

Answer 1

(1) (2)

试题分析：解法一：（1）取BC中点H，连结FH，EH，设正方体棱长为2．
∵F为BCC₁B₁中心，E为AB中点．
∴FH⊥平面ABCD，FH=1，EH=．
∴∠FEH为直线EF与平面ABCD所成角，且FH⊥EH．
∴tan∠FEH===．……6分
（2）取A₁C中点O，连接OF，OA，则OF∥AE，且OF=AE．
∴四边形AEFO为平行四边形．∴AO∥EF．
∴∠AOA₁为异面直线A₁C与EF所成角．
∵A₁A=2，AO=A₁O=．
∴△AOA₁中，由余弦定理得cos∠A₁OA=．……12分
解法二：设正方体棱长为2，以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB₁为z轴，建立空间直角坐标系．则B（0，0，0），B₁（0，0，2），E（0，1，0），F（1，0，1），
C（2，0，0），A₁（0，2，2）．
（1）=（1，－1，1），=（0，0，2），且为平面ABCD的法向量．
∴cos<，>=．
设直线EF与平面ABCD所成角大小为θ．
∴sinθ=，从而tanθ=．……6分
（2）∵=（2，－2，－2）．∴cos<，>=．
∴异面直线A₁C与EF所成角的余弦值为．……12分
点评：解决的关键是根据异面直线所成角的定义， 以及线面角的概念，结合向量法来得到，属于基础题。