Question

从0、2、6、8中任取3个数字，再从1、3、5、7、9中任取2个数字，组成没有重复数字的五位自然数，求：
（1）奇数的个数；
（2）偶数的个数；
（3）能被5整除的个数．

Answer 1

考点：计数原理的应用

专题：排列组合

分析：（1）分两种情况进行讨论，五位数中包含0的情况，五位数中不含0的情况，利用先取后排的原则，再排时注意首位不能为0，末尾是奇数，奇数从选取的两个奇数中任选一个，问题得以解决．
（2）因为0是偶数，0不能排在首位，分两种情况进行讨论，五位数中包含0的情况，五位数中不含0的情况；
（3）题目要求得到能被5整除的数字，注意0和5 的排列，分三种情况进行讨论，五位数中包含5和0的情况，五位数中包含5，不含0的情况，五位数中包含0，不含5的情况，根据分步计数原理得到结果．

解答： 解：（1）①五位数中包含0的情况：

C

2 3

•C

2 5

•A

1 2

•A

1 3

•A

3 3

=1080，
②五位数中不含0的情况：

C 2 5 •A

1 2

•A

4 4

=480，
所以奇数的个数是：1080+480=1560．
（2）①五位数中包含0的情况：

C

2 3

•C

2 5

(A

4 4

+A

1 2

•A

1 3

•A

3 3

)=1800，
②五位数中不含0的情况：

C

2 5

•A

1 3

•A

4 4

=720，
所以偶数的个数是：1800+720=2520．
（3）①五位数中包含5和0的情况：

C

2 3

•C

1 4

(A

4 4

+A

1 3

•A

3 3

)=504，
②五位数中包含5，不含0的情况：

C

1 4

•A

4 4

=96，
③五位数中包含0，不含5的情况：

C

3 4

•C

2 4

•A

4 4

=576，
所以能被5整除的个数为504+96+576=1176．

点评：本题是一个典型的排列问题，数字问题是排列中的一大类问题，条件变换多样，把排列问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏．