Question

2．求棱长为a的正四面体外接球的半径．

Answer 1

分析 由正四面体的棱长为a，所以此四面体一定可以放在棱长为$\frac{\sqrt{2}}{2}a$的正方体中，所以此四面体的外接球即为此正方体的外接球，由此能求出此四面体的外接球的半径，再代入面积公式、体积公式计算．

解答 解：∵正四面体的棱长为a，
∴此四面体一定可以放在正方体中，
∴我们可以在正方体中寻找此四面体．
如图所示，四面体ABCD满足题意，BC=a，
∴正方体的棱长为$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴此四面体的外接球即为此正方体的外接球，
∵外接球的直径=正方体的对角线长，
∴外接球的半径为R=$\frac{1}{2}×\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}$a=$\frac{\sqrt{6}}{4}$a．

点评 此题看成正方体截得的正四面体，则此正四面体的外接球半径即是正四面体的外接球半径是关键．