题目内容
设椭圆D：
+
=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，在x轴的负半轴上有一点B，满足
=
，且
•
=0
（1）若过A，B，F2三点的圆C恰好与直线l：x-
y-3=0相切，求圆C的方程及椭圆D的方程；
（2）若过点T（3，0）的直线与椭圆D相交于两点M，N，设P为椭圆上一点，且满足
+
=t•
（O为坐标原点），求实数t的取值范围．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| BF1 |
| F1F2 |
| AB |
| AF2 |
（1）若过A，B，F2三点的圆C恰好与直线l：x-
| 3 |
（2）若过点T（3，0）的直线与椭圆D相交于两点M，N，设P为椭圆上一点，且满足
| OM |
| ON |
| OP |
考点：椭圆的简单性质
专题：计算题,平面向量及应用,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）利用
=
，可得F1为BF2的中点，根据AB⊥AF2，可得a，c的关系，利用过A、B、F2三点的圆C恰好与直线l：x-
y-3=0相切，求出a，即可求出椭圆的方程与圆的方程；
（2）设直线MN方程代入椭圆方程，利用韦达定理及向量知识，即可求实数t的取值范围．
| BF1 |
| F1F2 |
| 3 |
（2）设直线MN方程代入椭圆方程，利用韦达定理及向量知识，即可求实数t的取值范围．
解答：
解：（1）由题意知F1（-c，0），F2（c，0），A（0，b）．
因为AB⊥AF2，所以在Rt△ABF2中，BF22=AB2+AF22，
又因为
=
，所以F1为BF2的中点，
所以（4c）2=（
）2+a2，
又a2=b2+c2，所以a=2c．
所以F2（
，0），B（-
a，0），
Rt△ABF2的外接圆圆心为F1（-
，0），半径r=a，
因为过A、B、F2三点的圆C恰好与直线l：x-
y-3=0相切，
所以
=a，解得a=2，所以c=1，b=
．
所以椭圆的标准方程为：
+
=1，圆的方程为（x+1）2+y2=1；
（2）设直线MN方程为y=k（x-3），
设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x，y），
将直线方程代入椭圆方程，消去y，可得
（4k2+3）x2-24k2x+36k2-12=0，
∴△=（24k2）-4（4k2+3）（36k2-12）＞0，∴k2＜
，
又x1+x2=
，x1x2=
，
∵
+
=t
，
∴x1+x2=tx，y1+y2=ty，
∴tx=
，ty=
，
∴x=
，y=
，
代入椭圆方程可得3×[
]2+4×[
]2=12，
整理得t2=
=
∵k2＜
，∴0＜t2＜4，
∴实数t取值范围是（-2，0）∪（0，2）．
因为AB⊥AF2，所以在Rt△ABF2中，BF22=AB2+AF22，
又因为
| BF1 |
| F1F2 |
所以（4c）2=（
| 9c2+b2 |
又a2=b2+c2，所以a=2c．
所以F2（
| a |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
Rt△ABF2的外接圆圆心为F1（-
| a |
| 2 |
因为过A、B、F2三点的圆C恰好与直线l：x-
| 3 |
所以
|-
| ||
|
| 3 |
所以椭圆的标准方程为：
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（2）设直线MN方程为y=k（x-3），
设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x，y），
将直线方程代入椭圆方程，消去y，可得
（4k2+3）x2-24k2x+36k2-12=0，
∴△=（24k2）-4（4k2+3）（36k2-12）＞0，∴k2＜
| 3 |
| 5 |
又x1+x2=
| 24k2 |
| 4k2+3 |
| 36k2-12 |
| 4k2+3 |
∵
| OM |
| ON |
| OP |
∴x1+x2=tx，y1+y2=ty，
∴tx=
| 24k2 |
| 4k2+3 |
| -18k |
| 4k2+3 |
∴x=
| 24k2 |
| (4k2+3)t |
| -18k |
| (4k2+3)t |
代入椭圆方程可得3×[
| 24k2 |
| (4k2+3)t |
| -18k |
| (4k2+3)t |
整理得t2=
| 36k2 |
| 4k2+3 |
| 36 | ||
4+
|
∵k2＜
| 3 |
| 5 |
∴实数t取值范围是（-2，0）∪（0，2）．
点评：本题主要考查椭圆方程与圆的方程的求法，考查直线与圆相切的条件，考查直线与椭圆联立，运用韦达定理，具有一定的运算量．
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