Question

已知sin（

π

4

+x）=-

3

5

，x∈（-

π

2

，-

π

4

）求：
（1）tan2x
（2）

2sinx+sin2x

1-tanx

的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,同角三角函数基本关系的运用

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）首先，根据已知，求解sin2x=-

7

25

，然后，得到结果；
（2）根据（1），得到tanx=-7或

1

7

（舍去），然后，再求解sinx=-

7 2

10

．

解答： 解：（1）∵sin（

π

4

+x）=-

3

5

，x∈（-

π

2

，-

π

4

），
cos（

π

4

+x）=

1-sin2( π 4 -x)

=

4

5

，
∴sin[2（

π

4

+x）]=2sin（

π

4

+x）cos（

π

4

+x）
=2×（-

3

5

）×

4

5

=-

24

25

，
∴sin（

π

2

+2x）=cos2x=-

24

25

，
∴sin2x=-

7

25

，
∴tan2x=

sin2x

cos2x

=

7

24

，
（2）∵tan2x=

2tanx

1-tan2x

=

7

24

，
∴tanx=-7或

1

7

（舍去），
即sinx=-7cosx，
∵sin²x+cos²x=1，
∴sinx=-

7 2

10

，
∴

2sinx+sin2x

1-tanx

=

- 7 2 5 - 7 25

1+7

=-

7+35 2

200

．
故

2sinx+sin2x

1-tanx

的值为-

7+35 2

200

．

点评：本题重点考查了三角公式、二倍角公式、三角恒等变换公式、两角和与差的三角公式等知识，属于中档题．