Question

由定积分的性质和几何意义，说明下列各式的值：
（1）

∫

a -a

a2-x2

dx；                   
（2）

∫

1 0

[

1-(x-1)2

-x]dx．

Answer 1

考点：定积分

专题：计算题,选作题

分析：（1）根据定积分定义直接计算即可；
（2）将定积分分为两个积分的和，再分别求出定积分，即可得到结论．

解答： 解：（1）

∫

a -a

a2-x2

dx表示以（0，0）为圆心，以

.

a

.

为半径的圆的面积的一半，
即

∫

a -a

a2-x2

dx=

π

2

a²．
（2）

∫

1 0

[

1-(x-1)2

-x]dx=

∫

1 0

1-(x-1)2

dx+

∫

1 0

(-x)dx   …（*）
∵

∫

1 0

1-(x-1)2

dx表示以（1，0）为圆心，以1为半径的圆的面积的四分之一．
∴

∫

1 0

1-(x-1)2

dx=

π

4

．
故（*）的值为

π

4

+

∫

1 0

d(-

x2

2

)=

π

4

-

1

2

．
故

∫

1 0

[

1-(x-1)2

-x]dx=

π

4

-

1

2

．

点评：本题考查定积分的几何意义，考查定积分的计算，考查定积分的性质，属于基础题．