Question

10．若存在n∈N^*使得（ax+1）²ⁿ和（x+a）²ⁿ⁺¹（其中a≠0）的展开式中含xⁿ项的系数相等，则a的最大值为$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 利用二项展开式的通项公式求出（ax+1）²ⁿ和（x+a）²ⁿ⁺¹的展开式中含xⁿ项的系数，根据已知条件得到关于a，n的方程；分离出a看成关于n的函数，通过函数的单调性，求出a的范围．

解答 解：设（x+a）²ⁿ⁺¹的展开式为T_r+1，
则T_r+1=C_2n+1^rx^2n+1-ra^r，
令2n+1-r=n，
得r=n+1，
所以xⁿ的系数为C_2n+1ⁿ⁺¹aⁿ⁺¹．
由C_2n+1ⁿ⁺¹mⁿ⁺¹=C_2nⁿaⁿ，
得a=$\frac{n+1}{2n+1}$是关于n的减函数，
∵n∈N⁺，
∴$\frac{1}{2}$＜a≤$\frac{2}{3}$，
故a的最大值为$\frac{2}{3}$，
故答案为：$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查通过二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，属于中档题