Question

19．已知β为第二象限角，且满足$\frac{{2{{tan}^2}β}}{3tanβ+2}=1$
（1）求$sin（β+\frac{3π}{2}）$，
（2）$\frac{2}{3}{sin^2}β+cosβ•sinβ$．

Answer 1

分析 （1）（2）根据$\frac{{2{{tan}^2}β}}{3tanβ+2}=1$，求出cosβ和sinβ，即可求出$sin（β+\frac{3π}{2}）$和$\frac{2}{3}{sin^2}β+cosβ•sinβ$的值

解答 解：由$\frac{{2{{tan}^2}β}}{3tanβ+2}=1$，
可得：2tan²β-3tanβ-2=0，即（2tanβ+1）（tanβ-2）=0，
∵β为第二象限角，
∴2tanβ+1=0，即tanβ=$-\frac{1}{2}$．
可得：$\frac{sinβ}{cosβ}=-\frac{1}{2}$，
∵sin²β+cos²β=1，
可得$sinβ=\frac{\sqrt{5}}{5}$，cosβ=$-\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
（1）$sin（β+\frac{3π}{2}）$=-cosβ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
（2）$\frac{2}{3}{sin^2}β+cosβ•sinβ$=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{5}$-$\frac{\sqrt{5}}{5}×\frac{2\sqrt{5}}{5}$=-$\frac{1}{15}$．

点评 本题考查了同角三角函数关系式的计算和诱导公式的运用．属于基础题