Question

10．求点M（1，-1，2）到直线L：$\left\{\begin{array}{l}{x-y-z+1=0}\\{2x-y+z-2=0}\end{array}\right.$ 的距离．

Answer 1

分析 在直线L上任取两点A，B，计算$\overrightarrow{AM}$，$\overrightarrow{AB}$，及其夹角，从而得出M到AB的距离．

解答 解：∵直线L方程：$\left\{\begin{array}{l}{x-y-z+1=0}\\{2x-y+z-2=0}\end{array}\right.$，
∴A（1，1，1），B（3，4，0）是直线L上两点，
∴$\overrightarrow{AB}$=（2，3，-1），$\overrightarrow{AM}$=（0，-2，1），
∴cos＜$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AM}$＞=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AM}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AM}|}$=-$\frac{\sqrt{70}}{10}$．
∴sin＜$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AM}$＞=$\frac{\sqrt{30}}{10}$．
∴M到直线L的距离d=|$\overrightarrow{AM}$|sin＜$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AM}$＞=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题考查了空间向量与空间距离的计算，属于中档题．