Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2

2

，SA=SB=

3

．
（1）证明：SA⊥BC；
（2）求二面角C-SD-A的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,棱锥的结构特征

专题：空间角

分析：（1）作SO⊥BC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC⊥⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD，由此能证明SA⊥BC．
（2）作SO⊥BC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出二面角C-SD-A的余弦值．

解答： （1）证明：作SO⊥BC，垂足为O，连结AO，
由侧面SBC⊥⊥底面ABCD，
得SO⊥底面ABCD
∵SA=SB，∴AO=BO，
又∠ABC=45°，∴△AOB为等腰直角三角形，SA⊥BC，
∴由三垂线定理，得SA⊥BC．
（2）作SO⊥BC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD，
∵SA=SB，∴AO=BO．又∠ABC=45°，∴△AOB为等腰直角三角形，AO⊥OB．
如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O-xyz，
由（1）知SA⊥BC，依题设AD∥BC，∴SA⊥AD，
∵AB=2，BC=2

2

，SA=SB=

3

．
∴A（

2

，0，0），S（0，0，1），C（0，-

2

，0），
D（

2

，-2

2

，0），
∴

SC

=（0，-

2

，-1），

SD

=（

2

，-2

2

，-1），

SA

=（

2

，0，-1），
设平面CSD的法向量

n

=（x，y，z），
则

n

•

SC

=0，

n

•

SD

=0，
∴

- 2 y-z=0 2 x-2 2 y-z=0

，
取y=

2

，得

n

=（

2

，

2

，-2），
设平面SDA的法向量

m

=（x₁，y₁，z₁），

m

•

SD

=0，

m

•

SA

=0，
∴

2 x1-2 2 y1-z1=0 2 x1-z1=0

，
取x1=

2

，得

m

=（

2

，0，2），
∵cos＜

m

，

n

＞=

2-4

8 • 6

=-

3

6

由图形称二面角C-SD-A是锐二面角，
∴二面角C-SD-A的余弦值为

3

6

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．