Question

20．已知x=$\frac{π}{6}$是函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜$\frac{π}{2}$）图象的一条
对称轴．
（1）求函数f（x）的解析式；          
（2）求函数f（-x）的单调增区间；
（3）作出函数f（x）在x∈[0，π]上的图象简图（列表，画图）．

Answer 1

分析 （1）利用正弦函数的对称性可得2×$\frac{π}{6}$+ϕ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，又0＜ϕ＜$\frac{π}{2}$，可求ϕ，即可解得函数解析式；
（2）先求函数解析式f（-x）=-sin（2x-$\frac{π}{6}$），由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，即可解得函数f（x）的增区间．
（3）用五点法即可作图得解．

解答 解：（1）∵$x=\frac{π}{6}$是函数f（x）=sin（2x+ϕ）$（0＜ϕ＜\frac{π}{2}）$图象的一条对称轴．
∴2×$\frac{π}{6}$+ϕ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z．
∴ϕ=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z．
又0＜ϕ＜$\frac{π}{2}$，
∴ϕ=$\frac{π}{6}$，
∴可得：$f（x）=sin（2x+\frac{π}{6}）$；
（2）∵f（-x）=sin（-2x+$\frac{π}{6}$）=-sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∴由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，即可解得函数f（x）的增区间为$[kπ+\frac{π}{3}，kπ+\frac{5}{6}π]，k∈Z$．
（3）列表

x	0	$\frac{π}{6}$	$\frac{5π}{12}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{11π}{12}$	π
$2x+\frac{π}{6}$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π	$\frac{13π}{6}$
f（x）	$\frac{1}{2}$	1	0	-1	0	$\frac{1}{2}$

f（x）在x∈[0，π]上的图象简图如下图所示：

点评 本题主要考查了正弦函数的单调性和对称性，考查了五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象，属于基本知识的考查．