Question

10．观察：sin10°+sin20°+sin30°+…+sin200°=$\frac{2sin105°sin100°}{sin10°}$；sin12°+sin24°+sn36°+…+sin192°=$\frac{2sin102°sin96°}{sin12°}$，由此猜出一个一般式为sinx+sin2x+…+sinnx=$\frac{2sin\frac{1+n}{2}x•sin\frac{nx}{2}}{sinx}$（n∈N₊）．

Answer 1

分析 等式左边各加数的函数名称都是正弦，角依次是第一个角的n倍，分析右边角的规律，即可得出结论．

解答 解：等式左边各加数的函数名称都是正弦，角依次是第一个角的n倍．
故左边通式应为sinx+sin2x+…+sinnx．
∵105°=$\frac{10°+200°}{2}$，100°=$\frac{200}{2}$；102°=$\frac{12°+192°}{2}$，96°=$\frac{192°}{2}$
故右边的通式应为$\frac{2sin\frac{1+n}{2}x•sin\frac{nx}{2}}{sinx}$
∴一般式为sinx+sin2x+…+sinnx=$\frac{2sin\frac{1+n}{2}x•sin\frac{nx}{2}}{sinx}$．
故答案为：sinx+sin2x+…+sinnx=$\frac{2sin\frac{1+n}{2}x•sin\frac{nx}{2}}{sinx}$（n∈N₊）．

点评 本题考查归纳推理，考查学生分析解决问题的能力，分析右边角的规律是关键．