Question

8．若数列{a_n}满足${a_1}•{a_2}•{a_3}•…•{a_n}={n^2}+3n+2$，则a_n=$\left\{\begin{array}{l}6，n=1\\ \frac{n+2}{n}，n≥2，n∈N\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 利用已知条件通过n=1与n＞1利用作商法求解即可．

解答 解：n=1时，a₁=6，
n≥2时，${a}_{1}•{a}_{2}•{a}_{3}…{a}_{n}={n}^{2}+3n+2$，…①
${a}_{1}•{a}_{2}•{a}_{3}…{a}_{n-1}=（{n-1）}^{2}+3（n-1）+2$=n²+n…②，
$\frac{①}{②}$可得$\frac{{n}^{2}+3n+2}{{n}^{2}+n}$=$\frac{n+2}{n}$．
a_n=$\left\{\begin{array}{l}6，n=1\\ \frac{n+2}{n}，n≥2，n∈N\end{array}\right.$，
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}6，n=1\\ \frac{n+2}{n}，n≥2，n∈N\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的递推关系式的应用，数列通项公式的求法，值域数列的首项，是易错点．