Question

已知函数f（x）=lg[（m²-3m+2）x²+2（m-1）x+5]，
（1）若函数f（x）的定义域为R，求实数m的取值范围；
（2）若函数f（x）的值域为R，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数的值域与最值

专题：函数的性质及应用

分析：（1）（m²-3m+2）x²+2（m-1）x+5＞0恒成立，运用二次函数求解．
（2）g（x）=（m²-3m+2）x²+2（m-1）x+5图象不能在x轴上方．

解答： 解：函数f（x）=lg[（m²-3m+2）x²+2（m-1）x+5]，
（1）∵f（x）的定义域为R，
∴g（x）=（m²-3m+2）x²+2（m-1）x+5的图象恒在x轴上方，
（m²-3m+2）x²+2（m-1）x+5＞0恒成立，
当m=1时，5＞0恒成立，
当m=2时2x+5＞0不恒成立，
当

m2-3m+2＞0 △＜0

时，不等式恒成立．
即m＞

9

4

或m＜1，
所以实数m的取值范围为：m＞

9

4

或m≤1，
（2）∵f（x）的值域为R，
∴g（x）=（m²-3m+2）x²+2（m-1）x+5图象不能在x轴上方，
当m=2时g（x）=2x+5，符合题意，
当

m2-3m+2＞0 △≥0

时，即2＜m≤

9

4

实数m的取值范围：2≤m≤

9

4

点评：本题考察了对数函数的图象和性质，借助二次函数性质求解．