Question

若给一个正方体的八个顶点染色，要求相邻的两个顶点（即同一条棱的两个端点）颜色不能相同，则至少需要

 

种颜色；现有5种不同的颜色，要给正方体的六个面涂色，要求相邻的两个面不能用同一种颜色，则共有

 

种不同的涂色方法．

Answer 1

考点：计数原理的应用

专题：排列组合

分析：由于涂色过程中，要保证满足用五种颜色，且相邻的面不同色，对于正方体的三对面来说，必然有三对同色或两对同色，一对不同色，而且三对面具有“地位对等性”．

解答： 解：（1）如图，顶点A的先选一种，则B，D，A₁，可以相同选另一种颜色，若C，D₁，B₁与A 的颜色相同，C₁和B的颜色相同，故至少需要2种颜色．
（2）解：由于涂色过程中，要保证满足用五种颜色，且相邻的面不同色，对于正方体的三对面来说，必然有三对同色或两对同色，一对不同色，而且三对面具有“地位对等性”，因此，
三对同色：

C

3 5

=10种不同的涂法；
两对同色，一对不同色：只需从四种颜色中选择2种涂在其中两对面上，剩下的两种颜色涂在另外两个面即可．因此共有

C

2 5

=10种不同的涂法．
故共有10+10=20种不同的涂法
故答案为：2，20．

点评：本题考查了排列，组合和简单的计数问题，解答该题的关键是对题目中注明的涂色后，任意翻转正方体，能使正方体各面颜色一致，我们认为是同一种涂色方法的理解，这样使看似复杂的问题变为简单的选色（即组合）问题，属中档题．