Question

8．已知不恒为0的函数f（x）满足f（x+2）•f（x）=1，且当x∈[0，4）时，f（x）=|x²-2x-1|，若函数g（x）=f（x）-m在[-4，5]上恰有7个零点，则实数m的取值范围为[1，2）．

Answer 1

分析 根据函数性质求出f（x）的周期，作出f（x）的函数图象，根据图象得出m的范围．

解答 解：∵f（x+2）•f（x）=1，∴f（x-2）•f（x）=1，
∴f（x+2）=$\frac{1}{f（x）}$，f（x-2）=$\frac{1}{f（x）}$，∴f（x+2）=f（x-2），
∴f（x）的周期为4．
令g（x）=0得f（x）=m，作出f（x）在[-4，5]的函数图象如图所示：

由图象可知当1≤m＜2时，f（x）=m在[-4，5]上有7个零点，
故答案为：[1，2）．

点评 本题考查了函数的周期性，函数的零点与函数图象的关系，属于中档题．