Question

12．命题p：关于x的不等式x²+2ax+4＞0对一切x∈R恒成立，q：函数f（x）=（3-2a）^x是增函数．若p∨q为真，p∧q为假．求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 由p：关于x的不等式x²+2ax+4＞0对一切x∈R恒成立，q：函数f（x）=（3-2a）^x是增函数分别列示求出a的范围，再由于p或q为真，p且q为假，可知p和q一真一假，分类求出a的范围，取并集得答案．

解答 解：设g（x）=x²+2ax+4，由于关于x的不等式x²+2ax+4＞0对一切x∈R恒成立，
∴函数g（x）的图象开口向上且与x轴没有交点，
故△=4a²-16＜0，∴-2＜a＜2．
又∵函数f（x）=（3-2a）^x是增函数，
∴3-2a＞1，得a＜1．
又由于p或q为真，p且q为假，可知p和q一真一假．
（1）若p真q假，则$\left\{\begin{array}{l}{-2＜a＜2}\\{a≥1}\end{array}\right.$，得1≤a＜2；
（2）若p假q真，则$\left\{\begin{array}{l}{a≤-2或a≥2}\\{a＜1}\end{array}\right.$，得a≤-2．
综上可知，所求实数a的取值范围为1≤a＜2，或a≤-2．

点评 本题考查复合命题的真假判断与应用，根据不等式的性质分别求出命题p，q真假时a的范围是解决本题的关键，比较基础．