题目内容
已知函数f(x)=lnx，g(x)=
x2-2x，当x＞1时，不等式k（x-1）＜xf（x）+2g′（x）+3恒成立，则整数k的最大值为 ．
| 1 |
| 2 |
考点：利用导数研究函数的单调性
专题：导数的综合应用
分析：k（x-1）＜xf（x）+2g′（x）+3恒成立，等价于k（x-1）＜xlnx+2（x-2）+3对一切x∈（1，+∞）恒成立，分离参数，从而可转化为求函数的最小值问题，利用导数即可求得，即可求实数a的取值范围．
解答：
解：因为当x＞1时，不等式k（x-1）＜xf（x）+2g′（x）+3恒成立，
即k（x-1）＜xlnx+2（x-2）+3对一切x∈（1，+∞）恒成立，
亦即k＜
=
+2对一切x∈（1，+∞）恒成立，
所以不等式转化为k＜
+2对任意x＞1恒成立．
设p（x）=
+2，则p′（x）=
，
令r（x）=x-lnx-2（x＞1），则r′（x）=1-
=
＞0
所以r（x）在（1，+∞）上单调递增．
因为r（3）=3-ln3-2=1-ln3＜0，r（4）=4-ln4-2=2-2ln2＞0，
所以r（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（3，4），
当1＜x＜x0时，r（x）＜0，即p′（x）＜0；
当x＞x0时，r（x）＞0，即p′（x）＞0．
所以函数p（x）=
+2在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，
又r（x0）=x0-lnx0-2=0，所以lnx0=x0-2．
所以[p（x）]min=p（x0）=
+2=
=x0-1+2∈（4，5），
所以k＜[p（x）]min=x0-1+2∈（4，5）
故整数k的最大值是4．
故答案为：4
即k（x-1）＜xlnx+2（x-2）+3对一切x∈（1，+∞）恒成立，
亦即k＜
| xlnx+2x-1 |
| x-1 |
| xlnx+1 |
| x-1 |
所以不等式转化为k＜
| xlnx+1 |
| x-1 |
设p（x）=
| xlnx+1 |
| x-1 |
| x-lnx-2 |
| (x-1)2 |
令r（x）=x-lnx-2（x＞1），则r′（x）=1-
| 1 |
| x |
| x-1 |
| x |
所以r（x）在（1，+∞）上单调递增．
因为r（3）=3-ln3-2=1-ln3＜0，r（4）=4-ln4-2=2-2ln2＞0，
所以r（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（3，4），
当1＜x＜x0时，r（x）＜0，即p′（x）＜0；
当x＞x0时，r（x）＞0，即p′（x）＞0．
所以函数p（x）=
| xlnx+1 |
| x-1 |
又r（x0）=x0-lnx0-2=0，所以lnx0=x0-2．
所以[p（x）]min=p（x0）=
| x0lnx0+1 |
| x0-1 |
| x0(x0-2)+1 |
| x0-1 |
所以k＜[p（x）]min=x0-1+2∈（4，5）
故整数k的最大值是4．
故答案为：4
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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| π |
| 3 |
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