Question

已知向量

a

=(cos

3

2

x，sin

3

2

x)，

b

=(cos

x

2

，sin

x

2

)，且x∈[-

π

6

，

π

3

]
（1）求

a

•

b

及|

a

+

b

|；
（2）若f(x)=

a

•

b

-|

a

+

b

|，求f(x)的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的坐标表示、模、夹角,平面向量数量积的运算

专题：计算题

分析：（1）利用数量积公式及差角的余弦公式可求

a

•

b

，将模先平方再开方，可得结论；
（2）利用换元法，再利用配方法，即可求函数的值域．

解答： 解：（1）

a

•

b

=cos

3

2

xcos

x

2

+sin

3

2

xsin

x

2

=cosx
|

a

+

b

|2=

a

2+2

a

•

b

+

b

2=2+2cosx，
∵x∈[-

π

6

，

π

3

]，
∴|

a

+

b

|=2cos

x

2

；
（2）f(x)=

a

•

b

-|

a

+

b

|=cosx-2cos

x

2

=2cos²

x

2

-2cos

x

2

-1
令t=cos，则f（t）=2t²-2t-1=2（t-

1

2

）²-

3

2

∵x∈[-

π

6

，

π

3

]，
∴

x

2

∈[-

π

12

，

π

6

]
∴

6 + 2

4

≤t≤

3

2

，
∴函数在（

1

2

，+∞）上单调增
∴f（t）∈[

3 - 2 - 6

2

，

1

2

-

3

]

点评：本题考查数量积公式，考查三角函数的化简，考查函数的值域，解题的关键是正确化简三角函数．