Question

数列{a_n} 满足a₁=2，(n+

1

2

)anan+1+2nan+1-2n+1an=0（n∈N₊）．
（Ⅰ）设b_n=

2n

an

，求数列{b_n}的通项公式b_n；
（Ⅱ）设c_n=

1

n(n+1)an+1

，数列{c_n}的前n项和为S_n，求证：

5

16

≤Sn＜

1

2

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和,数列递推式

专题：综合题

分析：（Ⅰ）由(n+

1

2

)anan+1+2nan+1-2n+1an=0（n∈N₊），知

2n+1

an+1

-

2n

an

=n+

1

2

，由b_n=

2n

an

，a₁=2，知b1=

21

a1

=

2

2

=1，b2-b1= 1+

1

2

，b3-b2=2+

1

2

，…，bn-bn-1=n-1+

1

2

，由累加法能求出数列{b_n}的通项公式b_n．
（Ⅱ）由bn=

n2+1

2

，b_n=

2n

an

，知an=

2n

n2+1 2

=

2n+1

n2+1

，an+1=

2n+2

(n+1) 2+1

，故c_n=

1

n(n+1)an+1

=

(n+1)2+1

n(n+1)•2n+2

=

1

2

[

1

2 n+1

+

1

n•2n

-

1

(n+1)•2n+1

]，故S_n=

1

2

[1-(

1

2

)n+1•

n+2

n+1

]，由此能证明

5

16

≤Sn＜

1

2

．

解答： 解：（Ⅰ）∵(n+

1

2

)anan+1+2nan+1-2n+1an=0（n∈N₊），
∴

2n+1

an+1

-

2n

an

=n+

1

2

，
∵b_n=

2n

an

，a₁=2，
∴b1=

21

a1

=

2

2

=1，
b2-b1= 1+

1

2

，
b3-b2=2+

1

2

，
…
bn-bn-1=n-1+

1

2

，
∴b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）
=1+（1+

1

2

）+（2+

1

2

）+…+（n-1+

1

2

）
=1+

n-1

2

+

n(n-1)

2

=

n2+1

2

．
（Ⅱ）∵bn=

n2+1

2

，b_n=

2n

an

，
∴an=

2n

n2+1 2

=

2n+1

n2+1

，an+1=

2n+2

(n+1) 2+1

，
∴c_n=

1

n(n+1)an+1

=

(n+1)2+1

n(n+1)•2n+2

=

1

2

•

n2+2n+2

n(n+1)•2n+1

=

1

2

[

n2+n

n(n+1)•2n+1

+

n+2

n(n+1)•2n+1

]
=

1

2

[

1

2 n+1

+

1

n•2n

-

1

(n+1)•2n+1

]，
∴Sn=

1

2

(

1

2 2

+

1

2 3

+…+

1

2 n+1

)+

1

2

[(

1

1×2

-

1

2×22

)+(

1

2×22

-

1

3×23

)+…+(

1

n•2 n

-

1

(n+1)•2 n+1

)]
=

1

2

•

1 2 2 (1- 1 2 n )

1- 1 2

+

1

2

[

1

2

-

1

(n+1)•2n+1

]
=

1

2

[1-(

1

2

)n+1•

n+2

n+1

]，
∵(

1

2

)n+1•

n+2

n+1

=(

1

2

)n+1•(1+

1

n+1

)递减，
∴0＜(

1

2

)n+1•

n+2

n+1

≤(

1

2

)1+1•

1+2

1+1

=

3

8

，
∴

5

16

≤

1

2

[1-(

1

2

)n+1•

n+2

n+1

]＜

1

2

，
即

5

16

≤Sn＜

1

2

．

点评：本题考查数列、不等式知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要注意培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．