Question

已知函数f(x)=5-

6

x

，则f（x）在x∈（0，+∞）是

 

（增函数，减函数）若f（x）在[a，b]（0＜a＜b）的值域是[a，b]，则a=

 

．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：①根据函数y=

6

x

的单调性，得出函数y=-

6

x

的单调性，即可得出函数f（x）=5-

6

x

的单调性；
②由函数f（x）在x∈（0，+∞）上的单调性，得出f（x）在[a，b]上的单调性，列出方程组，求出a的值．

解答： 解：①∵函数f(x)=5-

6

x

，
当x∈（0，+∞）时，y=

6

x

是减函数，
∴y=-

6

x

在x∈（0，+∞）上是增函数，
∴函数f（x）=5-

6

x

在x∈（0，+∞）上是增函数；
②∵函数f（x）=5-

6

x

在x∈（0，+∞）上是增函数，
且f（x）在[a，b]（0＜a＜b）的值域是[a，b]；
∴

f(a)=a f(b)=b 0＜a＜b

，
即

5- 6 a =a 5- 6 b =b 0＜a＜b

，
解得a=2，b=3；
∴a的值是2．
故答案为：增函数；2．

点评：本题考查了复合函数的单调性的判断问题，也考查了函数值域的应用问题，是综合性题目．