Question

下列命题：
①△ABC中，若A＜B，则cos2A＜cos2B；
②若A，B，C为△ABC的三个内角，则

4

A

+

1

B+C

的最小值为

9

π

③已知a_n=sin

nπ

6

+

16

2+sin nπ 6

（n∈N^*），则数列{a_n}中的最小项为

19

3

；
④若函数f（x）=log₂（x+1），且0＜a＜b＜c，则

f(a)

a

＜

f(b)

b

＜

f(c)

c

；
其中所有正确命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：综合题,函数的性质及应用,点列、递归数列与数学归纳法,解三角形

分析：①△ABC中，由大角对大边和正弦定理得出sinA＜sinB，再由三角恒等变换得出cos2A＞cos2B，判定①是否正确；
②△ABC中，由A+B+C=π得出

A+B+C

π

=1，求出

4

A

+

1

B+C

的最小值即可判定②是否正确；
③设f（x）=x+

16

2+x

，x∈[-1，1]，求出x=1时f（x）取得最小值

19

3

，判定数列{a_n}有最小项；得出③正确；
④画出函数f （x）=log₂（x+1）的图象，结合图形以及

f(x)

x

的几何意义，判定④是否正确．

解答： 解：对于①，△ABC中，A＜B时，a＜b，即sinA＜sinB，∴sin²A＜sin²B，∴1-2sin²A＞1-2sin²B，即cos2A＞cos2B，∴①错误；
对于②，△ABC中，A+B+C=π，∴

A+B+C

π

=1，∴

4

A

+

1

B+C

=（

4

A

+

1

B+C

）•

A+B+C

π

=

1

π

[4+1+

4(B+C)

A

+

A

B+C

]≥

1

π

[5+2

4(B+C) A • A B+C

]=

9

π

；
当且仅当A=2（B+C），即A=

2π

3

时，“=”成立，即取最小值

9

π

；∴②正确；
对于③，设f（x）=x+

16

2+x

，x∈[-1，1]，∴f′（x）=1-

16

(x+2)2

；当x∈[-1，1]时，f′（x）＜0，f（x）是减函数；∴x=1，f（x）取得最小值1+

16

2+1

=

19

3

；
即sin

nπ

6

=1，n=3+12k（k∈N^*）时，数列{a_n}有最小项为

19

3

；∴③正确；
对于④，画出函数f （x）=log₂（x+1）的图象，如图所示：
令g（x）=

f(x)

x

=

f(x)-0

x-0

，其几何意义是f（x）图象上的点（x，f（x））与原点连线的斜率，
由图知函数g（x）为（-1，+∞）上的减函数，∵0＜a＜b＜c，∴

f(a)

a

＞

f(b)

b

＞

f(c)

c

；∴④错误；
综上，以上正确的命题是②③．
故答案为：②③．

点评：本题通过命题真假的判定，考查了解三角形的知识，三角函数的图象与性质，三角恒等变换，数列的应用，基本不等式的应用，函数的图象与性质等知识，是综合性题目．