Question

已知函数f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）与x轴相切，若直线y=c与y=c+5分别交f（x）的图象于A，B，C，D四点，且四边形ABCD的面积为25，则正实数c的值为

 

．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由函数f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）的图象与x轴相切，可得：△=a²-4b=0，由四边形ABCD是一个以AB，CD为两底，高为5的梯形，S=25=

1

2

（AB+CD）×5，结合韦达定理，构造关于c的方程，解方程可得答案．

解答： 解：∵函数f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）的图象与x轴相切，
∴△=a²-4b=0，
设函数f（x）=x²+ax+b的图象与直线y=c交于A，B两点，
即A，B两点的横坐标为方程：x²+ax+b-c=0的两根，
故AB=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1•x2

=

a2-4b+4c

=2

c

，
设函数f（x）=x²+ax+b的图象与直线y=c+5交于C，D两点，
同时可得：CD=2

c+5

，
此时四边形ABCD是一个以AB，CD为两底，高为5的梯形，
S=25=

1

2

（AB+CD）×5=（

c

+

c+5

）×5，
即

c

+

c+5

=5，
解得：c=4，
故答案为：4

点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，二次方程根与系数的关系，其中由韦达定理及四边形ABCD是一个以AB，CD为两底，高为5的梯形，构造关于c的方程是解答的关键．