Question

如图，正方体AC₁的棱长为1，连结AC₁，交平面A₁BD于H，有以下四个命题：
①AC₁⊥平面A₁BD，
②H是△A₁BD的垂心，
③AH=

3

3

，
④直线AH和BB₁所成的角为45°．
则上述命题中，是真命题的有

 

．（填命题序号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：空间位置关系与距离

分析：①由正方体的性质可得：AC₁⊥BD，AC₁⊥A₁B，利用线面垂直的判定定理即可得出；
②H是等边△A₁BD的中心，可得H是△A₁BD的垂心；
③由VA-BDA1=VA1-ABD即可得出AH=

3

3

；
④直线AH即AC₁和BB₁（即AA₁）所成的角θ满足：tanθ=

2

，即可判断出．

解答： 解：①由正方体的性质可得：AC₁⊥BD，AC₁⊥A₁B，而BD∩A₁B=B，∴AC₁⊥平面A₁BD，正确；
②H是等边△A₁BD的中心，因此是△A₁BD的垂心，正确；
③由VA-BDA1=VA1-ABD，∴

1

3

•AH•

3

4

×(

2

)2=

1

3

×

1

2

×12×1，解得AH=

3

3

，正确；
④直线AH即AC₁和BB₁（即AA₁）所成的角θ满足：tanθ=

2

，因此不是45°，不正确．
综上可得：只有①②③正确．
故答案为：①②③．

点评：本题考查了正方体的对角线的性质、三棱锥的体积计算公式、异面直线所成的角、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．