Question

已知0＜x＜1，0＜y＜1，0＜z＜1，且x+y+z=2，设t=xy+yz+zx，则t的取值范围为（　　）

• A、[1，

  4

  3

  ]
• B、（1，

  4

  3

  ]
• C、[

  4

  3

  ，2）
• D、[

  4

  3

  ，2]

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：利用基本不等式推断出xy+xz+yz≤

x2+y2

2

+

x2+z2

2

+

y2+z2

2

=x²+y²+z²，根据（x+y+z）²=x²+y²+z²+2xy+2xz+2yz=4，推断出xy+xz+yz≤

4

3

，根据x²+y²+z²＜x+y+z，进而推断出xy+xz+yz的另一个范围，最后综合可得答案．

解答： 解：∵x+y+z=2，
∴（x+y+z）²=x²+y²+z²+2xy+2xz+2yz=4，
∵xy+xz+yz≤

x2+y2

2

+

x2+z2

2

+

y2+z2

2

=x²+y²+z²，x=y=z时取等号，
∴3（xy+xz+yz）≤4，
∴xy+xz+yz≤

4

3

，
∵0＜x＜1，0＜y＜1，0＜z＜1，
∴x＞x²，y＞y²，z＞z²，
∴x²+y²+z²＜x+y+z=2，
x²+y²+z²=（x+y+z）²-2（xy+xz+yz）
∴4-2t＜2，
t＞1
综合可知t的范围为（1，

4

3

]，
故选：B．

点评：本题主要考查了基本不等式应用，不等式的解法等问题．考查了学生逻辑推理能力．