Question

对于函数f（x）=

22x+a

2x

（其中a为非零实数），给出以下命题：
①当a＞0时，f（x）在定义域上为单调函数；
②当a=-1时，函数f（x）的图象的关于原点中心对称；
③对于任意的a∈R⁺，函数f（x）均能取到最小值为2

a

；
④对于任意的a∈R⁺，函数f（x）为偶函数；
⑤当a=1时，对于满足0＜x₁＜x₂＜1的所有x₁，x₂，总有f（x₂）-f（x₁）＜

3

2

ln2(x2-x1)．
其中所有正确命题的序号为（　　）

• A、①②③
• B、③④⑤
• C、②③
• D、②③⑤

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：阅读型,函数的性质及应用

分析：对于①，由复合函数的单调性加以判断；
对于②，取a=-1后，判断函数为奇函数，从而得到命题正确；
对于③，直接由①中得到的函数的单调性求得最小值，说明命题正确；
对于④，直接由函数奇偶性的定义说明真假；
对于⑤，求出函数的导函数，判断导函数的增减性，由割线的斜率小于函数在x=1处的切线的斜率说明命题正确．

解答： 解：对于①，令t=2^x，f（t）=t+

a

t

，
外层函数f（t）=t+

a

t

在（0，

a

]单调递减，在[

a

，+∞）单调递增，内层函数t=2^x为增函数，
∴①不正确；
对于②，当a=-1时，f(x)=2x-

1

2x

．
∵f（-x）=2^-x-

1

2-x

=

1

2x

-2^x=-f（x），
∴函数f（x）为奇函数，奇函数的图象关于原点对称，
∴②正确；
对于③，由①知：当t=

a

时，f（x）最小，最小值是2

a

，
由2^x=

a

⇒x=

log

a 2

=

1

2

log

a 2

，
∴③正确；
对于④，∵当a=3时，f(x)=2x+

3

2x

，
f(-x)=2-x+

3

2-x

=3•2x+

1

2x

≠2x+

3

2x

=f（x），函数不是偶函数，
∴④不正确；
对于⑤，当a=1时，f（x）=2^x+

1

2x

，
∵f′（x）=(2x-

1

2x

)ln2为增函数，
∴对于满足0＜x₁＜x₂＜1的所有x₁，x₂，
总有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜f′(x)max＜f′(1)=

3

2

ln2．
即f（x₂）-f（x₁）＜

3

2

ln2(x2-x1)．
∴⑤正确．
综上，正确命题的序号是②③⑤．
故选：D．

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了函数的基本性质，是中档题．