Question

1．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左焦点F和上顶点B在直线$3x-\sqrt{3}y+3=0$上，A为椭圆上位于x轴上方的一点，且AF⊥x轴，M，N为椭圆C上不同于A的两点，且∠MAF=∠NAF．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线MN与y轴交于点D（0，d），求实数d的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求得直线$3x-\sqrt{3}y+3=0$在坐标轴的交点，可得F，B的坐标，即有b，c，再由a，b，c的关系可得a的值，进而得到椭圆方程；
（2）设直线AM的斜率为k，由∠MAF=∠NAF，可得直线AM，AN关于直线AF对称，可得直线AN的斜率为-k，求得A的坐标，设出直线AM的方程，联立椭圆方程，运用韦达定理，可得M的横坐标，将k换为-k，可得N的横坐标，运用直线的斜率公式可得直线MN的斜率，进而得到直线MN的方程，联立椭圆方程，运用判别式大于0，解方程可得d的范围；再由A在直线MN上，解不等式可得d的范围，求交集，即可得到所求d的范围．

解答 解：（1）由左焦点F和上顶点B在直线$3x-\sqrt{3}y+3=0$上，
可得F（-1，0），B（0，$\sqrt{3}$），
即有c=1，b=$\sqrt{3}$，
a=$\sqrt{{c}^{2}+{b}^{2}}$=2，
则椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）设直线AM的斜率为k，由∠MAF=∠NAF，
可得直线AM，AN关于直线AF对称，
可得直线AN的斜率为-k，
令x=-1，可得A（-1，$\frac{3}{2}$），
设直线AM的方程为y-$\frac{3}{2}$=k（x+1），
联立椭圆方程3x²+4y²=12，
可得（3+4k²）x²+（12+8k）kx+（4k²+12k-3）=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由-x₁=$\frac{4{k}^{2}+12k-3}{3+4{k}^{2}}$，即有x₁=-$\frac{4{k}^{2}+12k-3}{3+4{k}^{2}}$，
将上式中的k换为-k，可得x₂=-$\frac{4{k}^{2}-12k-3}{3+4{k}^{2}}$．
y₁=k（x₁+1）+$\frac{3}{2}$，y₂=-k（x₂+1）+$\frac{3}{2}$，
则直线MN的斜率为$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{k（{x}_{1}+{x}_{2}+2）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$
=$\frac{k（-8{k}^{2}+6+6+8{k}^{2}）}{-24k}$=-$\frac{1}{2}$，
由直线MN与y轴交于点D（0，d），
可得直线MN的方程为y=-$\frac{1}{2}$x+d，
代入椭圆3x²+4y²=12，
可得x²+dx+d²-3=0，
由△=d²-4（d²-3）＞0，解得-2＜d＜2，
由A在直线MN的上方，可得$\frac{3}{2}$＞-$\frac{1}{2}$×（-1）+d，
解得d＜1．
可得-2＜d＜1．
则实数d的取值范围为（-2，1）．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用直线在坐标轴上的交点，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理，考查直线斜率公式和方程的求法，以及点与直线的位置关系，考查化简整理的运算能力，属于中档题．