Question

10．如图，在棱长为4的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是AB、DD₁的中点，点P是DD₁上一点，且PB∥平面CEF，则四棱锥P-ABCD外接球的体积为$\frac{41\sqrt{41}}{6}π$．

Answer 1

分析 连结BD交CE于O，连结OF，则当BP∥OF时，PB∥平面CEF，推导出DP=3，四棱锥P-ABCD外接球就是三棱锥P-ABC的外接球，从而求出四棱锥P-ABCD外接球的半径，由此能求出四棱锥P-ABCD外接球的体积．

解答 解：连结BD交CE于O，则$\frac{BO}{OD}=\frac{BE}{CD}=\frac{1}{2}$，
连结OF，则当BP∥OF时，PB∥平面CEF，则$\frac{PF}{FD}=\frac{1}{2}$，
∵F是DD₁的中点，DD₁=4，∴DP=3，
又四棱锥P-ABCD外接球就是三棱锥P-ABC的外接球，
∴四棱锥P-ABCD外接球的半径为：R=$\frac{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}+{4}^{2}}}{2}$=$\frac{\sqrt{41}}{2}$，
∴四棱锥P-ABCD外接球的体积为：
V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$=$\frac{41\sqrt{41}}{6}π$．
故答案为：$\frac{41\sqrt{41}}{6}π$．

点评 本题考查四棱锥外接球的体积的求法，考查正方体、四棱锥、球等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．