Question

15．设向量$\overrightarrow{m}$=（sinx，-1），向量$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$cosx，-$\frac{1}{2}$），函数f（x）=（$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$）•$\overrightarrow{m}$．
（1）求f（x）的最小正周期T；
（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a=2$\sqrt{3}$，c=4，若f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值为f（A），求A和b．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简f（x），根据周期公式计算周期；
（2）根据正弦函数的性质求出A，利用正弦定理计算C=$\frac{π}{2}$，易求出b．

解答 解：（1）f（x）=${\overrightarrow{m}}^{2}$+$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=sin²x+1+$\sqrt{3}$sinxcosx+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$（1-cos2x）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{3}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x+2=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+2，
∴f（x）的最小正周期为T=$\frac{2π}{2}$=π．
（2）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴当2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$即x=$\frac{π}{3}$时，f（x）取得最大值f（$\frac{π}{3}$），
∴A=$\frac{π}{3}$．
由正弦定理得：$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}$，
∴sinC=$\frac{csinA}{a}$=1，∴C=$\frac{π}{2}$，
∴b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=2．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，三角恒等变换与解三角形，属于中档题．