Question

6．如图，平行四边形ABCD中，BC=2AB=4，∠ABC=60°，PA⊥AD，E，F分别为BC，PE的中点，AF⊥平面PED．
（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）求直线BF与平面AFD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理的逆定理得出AE⊥DE，由AF⊥平面PED得DE⊥AF，故而DE⊥平面PAE，于是DE⊥PA，结合PA⊥AD得出PA⊥平面ABCD；
（2）以E为原点建立空间坐标系，求出平面ADF的法向量$\overrightarrow{n}$，则|cos＜$\overrightarrow{BF}，\overrightarrow{n}$＞|为直线BF与平面AFD所成角的正弦值．

解答 解：（1）连接AE，
∵AF⊥平面PED，ED?平面PED，
∴AF⊥ED，
在平行四边形ABCD中，BC=2AB=4，∠ABC=60°，
∴AE=2，$ED=2\sqrt{3}$，
∴AE²+ED²=AD²，∴AE⊥ED，
又∵AF∩AE=A，AF?平面PAE，PA?平面PAE，
∴ED⊥平面PAE，∵PA?平面PAE，
∴ED⊥PA，
又PA⊥AD，AD∩ED=D，AE?平面ABCD，AD?平面ABCD，
∴PA⊥平面ABCD．
（2）以E为坐标原点，以EA，ED为x轴，y轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（0，2，0），$D（{2\sqrt{3}，0，0}）$，$B（{-\sqrt{3}，1，0}）$，
∵AF⊥平面PED，所以AF⊥PE，
又F为PE中点，∴PA=AE=2，
∴P（0，2，2），F（0，1，1），
∴$\overrightarrow{AF}=（{0，-1，1}）$，$\overrightarrow{AD}=（{2\sqrt{3}，-2，0}）$，$\overrightarrow{BF}=（{\sqrt{3}，0，1}）$，
设平面AFD的法向量为$\overrightarrow n=（{x，y，z}）$，
由$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow n=0$，$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow n=0$得，$\left\{\begin{array}{l}-y+z=0\\ 2\sqrt{3}x-2y=0\end{array}\right.$，
令x=1，得$\overrightarrow n=（{1，\sqrt{3}，\sqrt{3}}）$．
设直线BF与平面AFD所成的角为θ，则：$sinθ=|{cos＜\overrightarrow{BF}，\overrightarrow n＞}|=\frac{{|{\overrightarrow{BF}•\overrightarrow n}|}}{{|{\overrightarrow{BF}}||{\overrightarrow n}|}}=\frac{{2\sqrt{3}}}{{2×\sqrt{7}}}=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$，
即直线BF与平面AFD所成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{21}}}{7}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，空间向量与线面角的计算，属于中档题．