Question

10．抛物线C₁：y=ax²+bx+c（a＞0）过y轴上一点（0，4）．
（1）如图1，抛物线C₁的对称轴为x=1
①若函数C₁的最小值为1，求函数C₁的解析式；
②将C₁绕其顶点旋转180°得到抛物线C₂：直线y=a与C₁交于点A₁、B₁，直线y=-a与C₂交于点A₂、B₂，若A₂B₂=2A₁B₁，求a的值；
（2）如图2，C₁与直线y=kx交于点E、F，P为y轴上一定点，过点P的直线y=bx+n与直线y=kx交于点Q，若$\frac{1}{OE}$+$\frac{1}{OF}$=$\frac{2}{OQ}$，求定点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）①由题意抛物线的顶点坐标（1，1），设抛物线的解析式为y=a（x-1）²+1，把（0，4）代入求出a即可．
②由题意抛物线C₁的解析式为y=ax²-2ax+4，抛物线C₂的解析式为y=-a（x-1）²+4-a=-ax²+2ax+4-2a，设A₁（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由$\left\{\begin{array}{l}{y=a}\\{y=a{x}^{2}-2ax+4}\end{array}\right.$消去y得ax²-2ax+4-a=0，推出x₁+x₂=2，x₁x₂=$\frac{4-a}{a}$，得到A₁B₁²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4-$\frac{4（4-a）}{a}$，同理可得，A₂B₂²=4+$\frac{4（4-a）}{a}$，由A₂B₂=2A₁B₁列出方程即可解决问题．
（2）设直线y=kx与抛物线y=y=ax²+bx+4的交点E、F坐标分别为（m₁，n₁）和（m₂，n₂），设点Q点横坐标为m₃，直线y=kx与x轴的夹角为α，
则OE=$\frac{{m}_{1}}{cosα}$，OF=$\frac{{m}_{2}}{cosα}$，OQ=$\frac{{m}_{3}}{coSα}$，由若$\frac{1}{OE}$+$\frac{1}{OF}$=$\frac{2}{OQ}$，推出$\frac{1}{{m}_{1}}$+$\frac{1}{{m}_{2}}$=$\frac{2}{{m}_{3}}$，由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y=a{x}^{2}+bx+4}\end{array}\right.$，消去y得到ax²+（b-k）x+4=0，推出m₁+m₂=-$\frac{b-k}{a}$，m₁m₂=$\frac{4}{a}$，推出$\frac{1}{{m}_{1}}$+$\frac{1}{{m}_{2}}$=-$\frac{b-k}{4}$，由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y=bx+n}\end{array}\right.$，解得m₃=-$\frac{n}{b-k}$，可得$\frac{2}{{m}_{3}}$=-$\frac{2（b-k）}{n}$，列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）①由题意抛物线的顶点坐标（1，1），设抛物线的解析式为y=a（x-1）²+1，把（0，4）代入得到a=3，
∴抛物线等角解析式为y=3（x-1）²+1．

②由题意抛物线C₁的解析式为y=ax²-2ax+4，抛物线C₂的解析式为y=-a（x-1）²+4-a=-ax²+2ax+4-2a，
设A₁（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=a}\\{y=a{x}^{2}-2ax+4}\end{array}\right.$消去y得ax²-2ax+4-a=0，
∴x₁+x₂=2，x₁x₂=$\frac{4-a}{a}$，
∴A₁B₁²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4-$\frac{4（4-a）}{a}$，
同理可得，A₂B₂²=4+$\frac{4（4-a）}{a}$，
∵A₂B₂=2A₁B₁，
∴4+$\frac{4（4-a）}{4}$=4[4-$\frac{4（4-a）}{a}$]，
解得a=$\frac{5}{2}$．

（2）设直线y=kx与抛物线y=y=ax²+bx+4的交点E、F坐标分别为（m₁，n₁）和（m₂，n₂），设点Q点横坐标为m₃，直线y=kx与x轴的夹角为α，
则OE=$\frac{{m}_{1}}{cosα}$，OF=$\frac{{m}_{2}}{cosα}$，OQ=$\frac{{m}_{3}}{coSα}$，
∵若$\frac{1}{OE}$+$\frac{1}{OF}$=$\frac{2}{OQ}$，
∴$\frac{1}{{m}_{1}}$+$\frac{1}{{m}_{2}}$=$\frac{2}{{m}_{3}}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y=a{x}^{2}+bx+4}\end{array}\right.$，消去y得到ax²+（b-k）x+4=0，
∴m₁+m₂=-$\frac{b-k}{a}$，m₁m₂=$\frac{4}{a}$，
∴$\frac{1}{{m}_{1}}$+$\frac{1}{{m}_{2}}$=-$\frac{b-k}{4}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y=bx+n}\end{array}\right.$，解得m₃=-$\frac{n}{b-k}$，
∴$\frac{2}{{m}_{3}}$=-$\frac{2（b-k）}{n}$，
∴-$\frac{b-k}{4}$=-$\frac{2（b-k）}{n}$，
解得，n=8，
∴点P坐标（0，8）．

点评 本题考查二次函数综合题、待定系数法、一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用参数解决问题，学会用方程的思想思考问题，本题有一定的技巧性，难度比较大，属于中考压轴题．