Question

5．如图，已知正方形ABCD的边长为1，若将边BC绕点B旋转90°后，得到正方形BC′D′C，连接AC、AD′，设∠BAC=α∠C′AD′=β，那么sinα+sinβ等于（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\sqrt{2}$+$\sqrt{5}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}+\sqrt{5}}}{10}$
• D． $\frac{{5\sqrt{2}+2\sqrt{5}}}{10}$

Answer 1

分析 由四边形ABCD是正方形，得到AB=BC=1，根据勾股定理得到AC=$\sqrt{2}$，由旋转的性质得到BC′=C′D′=1，根据勾股定理得到AD′=$\sqrt{5}$，然后根据三角函数的定义即可得到结论．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=1，
∴AC=$\sqrt{2}$，
∵将边BC绕点B旋转90°后，得到正方形BC′D′C，
∴BC′=C′D′=1，
∴AC′=2，
∴AD′=$\sqrt{5}$，
∴sinα+sinβ=$\frac{BC}{AD}$+$\frac{C′D′}{AD′}$=$\frac{5\sqrt{2}+2\sqrt{5}}{10}$，
故选D．

点评 本题考查了旋转的性质，正方形的性质，解直角三角形，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．