Question

15．已知如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴、y轴交于A、B两点（OA＜OB），且OA、OB的长分别是一元二次方程x²-18x+72=0的两根，点D为线段OB的中点，过点D作AB的垂线与线段AB相交于点C．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求过点C的反比例函数解析式；
（3）已知点P在直线AD上，在平面内是否存在点Q，使以A、O、P、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出方程的解即可解决问题．
（2）先求出直线AB、CD的解析式．利用方程组求出点C坐标，即可解决问题．
（3）分三种情形①当OA是菱形AP₁OQ₁的对角线时，②当OA为菱形AP₂Q₂O的边时，③当OA为菱形AP₃Q₃O的边时，分别求解即可．

解答 解：（1）由x²-18x+72=0，解得x=6或12，由题意OA=6．OB=12，
∴A（6，0），B（0，12）．

（2）设直线AB的解析式为y=kx+b则有$\left\{\begin{array}{l}{b=12}\\{6k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=12}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=-2x+12，
∵DC⊥AB，D（0，6）
∴直线DC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+6，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+12}\\{y=\frac{1}{2}x+6}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{12}{5}}\\{y=\frac{36}{5}}\end{array}\right.$，
∴交点C坐标（$\frac{12}{5}$，$\frac{36}{5}$），
∴过点C的反比例函数的解析式为y=$\frac{432}{25x}$．

（3）如图

①当OA是菱形AP₁OQ₁的对角线时，易知P₁（3，3），
∵P₁与Q₁关于x轴对称，
∴Q₁（3，-3）．
②当OA为菱形AP₂Q₂O的边时，∵OA=AP₂=P₂Q₂=6，
∴P2（6-3$\sqrt{2}$，3$\sqrt{3}$），Q₂（-3$\sqrt{2}$，3$\sqrt{2}$），
③当OA为菱形AP₃Q₃O的边时，同理可得Q₃（3$\sqrt{2}$，-3$\sqrt{2}$），
综上所述，满足条件的点Q坐标为（3，-3）或（-3$\sqrt{2}$，3$\sqrt{2}$）或（3$\sqrt{2}$，-3$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查反比例函数综合题、一次函数、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，掌握利用方程组求两个函数的交点坐标，属于中考压轴题．