Question

19．已知，如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与AB的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接PA，且∠EDB=∠EPA．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若PA=6，DA=8，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）欲证明PA是⊙O的切线，只需推知∠PAD=90°即可；通过相似三角形△APO～△EDO的对应角相等证得结论即可；
（2）在直角△PAD中，由PA与DA的长，利用勾股定理求出PD的长，由切线长定理得到PC=PA，由PD-PC求出CD的长，在直角△OCD中，设OC=r，则有OD=8-r，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，即为圆的半径．

解答 （1）证明：∵∠EDB=∠EPA，DE⊥PO，
∴∠EDO=∠APO，∠DEO=90°．
又∵∠POA=∠DOE，
∴△APO～△EDO，
∴∠PAO=∠DEO=90°．
又∵OA是半径，
∴PA是⊙O的切线；

（2）解：在Rt△PAD中，若PA=6，DA=8，
根据勾股定理得：PD=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵PD与PA都为圆的切线，
∴PC=PA=6，
∴DC=PD-PC=10-6=4，
在Rt△CDO中，设OC=r，则有DO=8-r，
根据勾股定理得：（8-r）²=r²+4²，
解得：r=3，
则圆的半径为3．

点评 此题考查了切线的判定与性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．