Question

8．如图，△ABC中，D，E，F分别足BC，CA，AB边上的点，BD：DC=1：2，CE：EA=1：3，AF：FB=1：1，AD，BE，CF围成△XYZ，若△ABC的面积为1，求△XYZ的面积．

Answer 1

分析 作出辅助线EG∥AB，得到相似三角形，用相似三角形的性质得到边的比，用同高的三角形的面积比等于对应边的比，如S_△ACF=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{2}$，再确定出S_{四边形AEZX}=$\frac{7}{20}$即可，

解答 解：如图，过点E作EG∥AB，

∵$\frac{AF}{FB}$=1
∴$\frac{AF}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴S_△ACF=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{2}$，
∵$\frac{CE}{AE}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{CE}{AC}$=$\frac{1}{4}$，
∴S_△BCE=$\frac{1}{4}$S_△ABC=$\frac{1}{4}$，S_△ABE=$\frac{3}{4}$，
∵EG∥AB，
∴$\frac{EG}{AF}$=$\frac{CE}{AC}$=$\frac{1}{4}$，
∵EG=AB，
∴$\frac{EZ}{ZB}$=$\frac{EG}{BF}$=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{EZ}{EB}$=$\frac{1}{5}$，
∴S_△ZCE=$\frac{1}{5}$S_△BCE=$\frac{1}{5}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{20}$，
同理：S_△AFX=$\frac{1}{10}$，S_△BDY=$\frac{1}{30}$，
∴S_{四边形AEZX}=S_△ACF-S_△CEZ-S_△AFX=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{20}$-$\frac{1}{10}$=$\frac{7}{20}$，
同理：S_{四边形FXYB}=$\frac{1}{5}$，
∴S_△XYZ=S_△ABE-S_{四边形AEZX}-S_△AFX-S_{四边形FXYB}=$\frac{3}{4}$-$\frac{7}{20}$-$\frac{1}{10}$-$\frac{1}{5}$=$\frac{1}{10}$．

点评 本题是面积等积变换的比较难的试题，主要考查同高的几个三角形的面积的比底的比，S_△BCE=$\frac{1}{4}$S_△ABC=$\frac{1}{4}$，S_△ABE=$\frac{3}{4}$，涉及到的知识点有相似三角形的判定和性质，比的基本性质，解本题的关键是作出辅助线．