Question

5．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD=4$\sqrt{3}$，AP：PB=3：1．
（1）求⊙O的半径；
（2）求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）连接OC，OD，利用垂径定理得CP=2$\sqrt{3}$，AP=3x，PB=x，则AB=4x，OC=2x，OP=x，利用勾股定理可得结果；
（2）根据OP=2，OC=4，利用直角三角形的性质易得∠COD=120°，利用扇形和三角形的面积公式，求得阴影部分面积．

解答 解：（1）连接OC，OD，
设AP=3x，PB=x，则AB=4x，OC=2x，OP=x，
∵CD⊥AB，
∴CP=DP=2$\sqrt{3}$，
∴x²+（2$\sqrt{3}$）²=（2x）²，
解得：x=2或x=-2（舍去），
∴OC=4，
∴⊙O的半径为4；

（2）∵OP=2，OC=4，
∴在Rt△OCP中，∠OCP=30°，∠COP=60°，
∴∠COD=120°，
∵S_阴影=S_扇形OCD-S_△OCD
=$\frac{120°•π•{4}^{2}}{360°}$-$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{3}$×2
=$\frac{16}{3}π-4\sqrt{3}$，
∴阴影部分的面积为：$\frac{16π}{3}-4\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了垂径定理，勾股定理，直角三角形的性质和扇形面积公式，作出适当的辅助线，数形结合是解答此题的关键．