利用我们学过的知识.可以导出下面这个形式优美的等式:a2+b2+c2-ab-bc-ac=$\frac{1}{2}$[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]该等式从左到右的变形.不仅保持了结构的对称性.还体现了数学的和谐.简洁美．(1)请你说明这个等式的正确性,(2)若a=2014.b=2015.c=2016.你能很快求出a2+b2+c2-ab-bc-ac的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：
a²+b²+c²-ab-bc-ac=$\frac{1}{2}$[（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²]
该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．
（1）请你说明这个等式的正确性；
（2）若a=2014，b=2015，c=2016，你能很快求出a²+b²+c²-ab-bc-ac的值；
（3）已知实数x，y，z，a满足x+a²=2014，y+a²=2015，z+a²=2016，且xyz=36．求代数式$\frac{x}{yz}$+$\frac{y}{xz}$+$\frac{z}{xy}$-$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{y}$-$\frac{1}{z}$的值．

分析（1）等式右边中括号中利用完全平方公式展开看，合并后去括号得到结果，与左边比较即可得证；
（2）根据（1）中的结论，将a，b，c的值代入右边计算即可求出值；
（3）由xyz=36，将代数式$\frac{x}{yz}$+$\frac{y}{xz}$+$\frac{z}{xy}$-$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{y}$-$\frac{1}{z}$变形得到$\frac{1}{36}$（x²+y²+z²-xy-yz-xz），再将x，y，z的值代入右边计算即可求出值．

解答解：（1）等式右边=$\frac{1}{2}$（a²-2ab+b²+b²-2bc+c²+a²-2ac+c²）=$\frac{1}{2}$（2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac）=a²+b²+c²-ab-bc-ac=左边，得证；
（2）当a=2014，b=2015，c=2016时，a²+b²+c²-ab-bc-ac=$\frac{1}{2}$[（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²]=3；
（3）∵xyz=36，
∴$\frac{x}{yz}$+$\frac{y}{xz}$+$\frac{z}{xy}$-$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{y}$-$\frac{1}{z}$=$\frac{1}{36}$（x²+y²+z²-xy-yz-xz），
∵x+a²=2014，y+a²=2015，z+a²=2016，
∴x=-a²+2014，y=-a²+2015，z=-a²+2016，
∴原式=$\frac{1}{36}$×3=$\frac{1}{12}$．