Question

15．已知二次函数y=ax²+bx+c，当x=1时，y有最大值4，且|a|=1．
（1）求它的解析式；
（2）若上述图象与x轴交点为A、B，y=kx+m（k＜0）过A、B中的一点及函数图象顶点G，且与y轴交于C点，求直线解析式；
（3）求原点到所求直线的距离．

Answer 1

分析 （1）由最大值可知a=1，又可知其顶点坐标为（1，4），可写出其顶点式方程，可得到其解析式；
（2）可先求得A、B、G的坐标，再利用待定系数法求直线的方程；
（3）根据（2）可求得AB，利用三角形的面积公式可求得原点到所求直线的距离．

解答 解：（1）∵有最大值，且|a|=1，
∴a=-1，
又∵当x=1时，函数有最大值，
∴顶点坐标为（1，4），
∴y=-（x-1）²+4，即y=-x²+2x+3；
（2）令y=0可得-（x-1）²+4=0，解得x=3或x=-1，
∴A、B两点的坐标为（-1，0）、（3，0），
且顶点坐标为G（1，4），
∵y=kx+m（k＜0）过A、B中的一点及函数图象顶点G，且与y轴交于C点，
∴直线经过B（3，0），
把B（3，0），G（1，4）代入可得$\left\{\begin{array}{l}{3k+m=0}\\{k+m=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{m=6}\end{array}\right.$，
∴直线的解析式为y=-2x+6；
（3）由y=-2x+6可知C（0，6），
∴BC=$\sqrt{{3}^{2}+{6}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∴$\frac{1}{2}$h•3$\sqrt{5}$=$\frac{1}{2}$×3×6，
解得h=$\frac{6}{5}$$\sqrt{5}$，
∴原点到所求直线的距离为$\frac{6}{5}$$\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查待定系数法求函数解析式及二次函数的顶点坐标，利用待定系数法求函数解析式的关键是求得点的坐标，注意方程思想的应用．