Question

5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D，E分别是AB，BC的中点，点F在CA的延长线上，∠FDA=∠B．
（1）判断四边形AEDF的形状，并说出你的理由；
（2）求四边形AEDF的周长，其中AC=6cm，BC=10cm．

Answer 1

分析 由直角三角形斜边上的中线性质和三角形中位线定理得出AE=$\frac{1}{2}$BC=BE，DE∥AF，DE=$\frac{1}{2}$AC，由平行线的性质得出∠B=∠EAD，证出∠FDA=∠EAD，得出AE∥DF，即可得出四边形AEDF是平行四边形；
（2）由平行四边形的性质得出AE=DF，DE=AF，求出AE=$\frac{1}{2}$BC=5cm，DE=$\frac{1}{2}$AC=3cm，即可得出结果．

解答 解：（1）四边形AEDF是平行四边形，理由如下：
∵∠BAC=90°，D，E分别是AB，BC的中点，
∴AE=$\frac{1}{2}$BC=BE，DE∥AF，DE=$\frac{1}{2}$AC，
∴∠B=∠EAD，
∵∠FDA=∠B，
∴∠FDA=∠EAD，
∴AE∥DF，
∴四边形AEDF是平行四边形；
（2）∵四边形AEDF是平行四边形，
∴AE=DF，DE=AF，
∵AE=$\frac{1}{2}$BC=5cm，DE=$\frac{1}{2}$AC=3cm，
∴四边形AEDF的周长=2（AE+DE）=2（5+3）=16（cm）．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质、平行线的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，由三角形中位线定理得出DE∥AC，DE=$\frac{1}{2}$AC是解决问题的关键．